Définitions
Caractéristique d'un fluide
Un fluide se déforme et s'écoule aisément.
Cela vient du fait que les intéractions intermoléculaire sont beaucoup plus faibles que dans un solide.
Distinction liquide/gaz
Soit un liquide \(L\) et un gaz \(G\)
- La distance intemoléculaire dans \(L\) est très inférieur à celle de \(G\)
- La masse volumique de \(L\) est très supérieur à celle de \(G\)
- La viscosité de \(L\) est plus grande que celle de \(G\)
Approximation du milieu continu
Dans le cadre de cette approxmation, on considère que le fluide est constitué de particules mésoscopiques réparties continuement.
Actions de contact fluide-fluide
Pour un fluide, il y a deux forces caractéristiques:
- La force de 1pression normale (force pressante)
- La force de viscosité tangentielle (nulle si au repos)
Statique des fluides
Statique des fluides
Cinématique des fluides
Dans un premier temps, on étudiera les fluides parfaits.
Notions utiles
Lignes de courant Champ vectoriel
Description de Lagrange / Euler
Description de Lagrange
La description de Lagrange d'un fluide est une description du fluide par l'étude des particules qui le constitute. C'est une description par particule que l'on étudie avec les grandeurs \(\vec v(t)\), \(\rho(t)\),...
On suit donc la trajectoire d'une particule au cours du temps.
Description d'Euler
La description d'Euler, elle, décrit un fluide comme un champ (Champ scalaire,Champ vectoriel). C'est une description par point géométrique \(M\) d'espace avec les grandeurs \(\vec v(M,t)\), \(p(M,t)\), \(\rho(M,t)\),...
On suit donc le champ \(\vec v(M,t)\) et, par conséquent, les Lignes de courant
Nature d'un écoulement
Selon le champ eulérien \(\vec v(M,t)\) de vitesse, l'écoulement peut être:
Ecoulement stationnaire Ecoulement uniforme Ecoulement potentiel Ecoulement rotationnel Ecoulement turbulent Ecoulement laminaire
Cas d'un fluide incompressible
En mécanique des fluides incompréssible, l'
Opérateur divergence correspond à une variation de volume de la particule.
Ecoulement d'un fluide incompressible en écoulement potentiel
Pour un fluide incompressible, la masse volumique \(\rho\) est constant.
Par conséquent:
$${{div(\vec v)=0}}$$
En écoulement potentiel \(\vec{rot}(\vec v)=0\):
$$div(\vec{grad}(\varphi))=0$$
$$\implies {{\Delta \varphi=0}}$$
Dérivation particulaire
On adopte la representation d'Euler.
Comment déterminer l'évolution d'un grandeur physique?
Accélération d'une particule
L'accélération d'une particule qui explore un champ de vitesse \(\vec v(M,t)\)
$$\vec a= {{\frac{D\vec v}{Dt} }}$$
On appelle cette dérivation , la dérivation particulaire.
En réalité, cette dérivation est une différentielle:
$$\frac{D\vec v}{Dt}=\frac{\partial \vec v}{\partial x}v_x+\frac{\partial \vec v}{dy}v_y+\frac{\partial \vec v}{dz}v_z+\frac{\partial \vec v}{dt}$$
Dérivation particulaire
Loi de conservation de la masse
Dans la description d'Euler, on parle de champ avec \(\vec v(M,t)\) le champ de vitesse et \(\rho(M,t)\) le champ de densité de masse.
On introduit alors, le vecteur de densité de courant massique:
Densité de courant massique
Cela nous permet d'introduit également le débit volumique et le débit massique:
Débit massique Débit volumique
On peut donc définit la loi de conservation de la masse:
Loi de conservation de la masse
